那些你知我知的帽子游戏

在围绕帽子展开的那些游戏中, 信息总是以A是否知道/不知道事件k这样的形式传递. 而这“知道/不知道”本身又是一种事件, 因此这种包含多重命题的论断在推理演绎之下奇妙地能帮游戏者得到一些原本看似不能得到的信息. 这正是此类帽子游戏吸引人的地方.

先来看最经典的版本:

 数学老师有5顶帽子, 2顶蓝色的,  3顶白色的. 他把期中三顶戴在三位聪明的同学头上.
 这三位同学能够看到别人头上帽子的颜色, 但是不知道自己戴的帽子是什么颜色的.
 过了一段时间, 他们都知道自己的帽子颜色了. 请问他们帽子的颜色?

在仔细想问题之前, 我们有很好的理由相信, 他们戴着相同颜色的帽子. 理由是这三个同学不可分别, 因此他们处于几乎相同的“处境”, 因此他们的结论应该是一样的. 当然, 也有可能他们帽子颜色是不同的, 进行了不同的并且都合理的推理得出各自正确的结论, 不过那样似乎太复杂了点. 既然这样, 我们现看看三位同学都戴着白色帽子时他们能否知道自己帽子的颜色.

不妨称三位同学A, B, C同学.

A同学会这么想:

 如果我的帽子是蓝色的, 那么B同学会这么想:

   既然A的帽子是蓝色的, 如果我的帽子颜色也是蓝色的, 那么C同学一定会这么想:

       A, B两同学都有蓝色帽子, 一共2顶蓝色帽子, 我一定戴着白色帽子!

   但是为啥C同学没有立刻判断出自己帽子的颜色呢?
   因为我戴着白色帽子, 只有这样, C才判断不了自己帽子是不是蓝色的!

 但是为啥B同学没有立刻判断出自己帽子的颜色是白色的呢?
 因为我戴着的一定是白色的帽子, 这样B才不能判断自己的帽子的颜色!

这样三个同学都能够通过他们中没有一个立刻判断出自己帽子颜色这一事实推断出, 自己有白色的帽子.

这种一层层嵌套的“幻想”竟然有了千真万确的另人惊讶的应用!

我们再来看另外一个和帽子有关的游戏

 还是三个同学, 但是这次他们的帽子颜色分别由投掷一枚硬币的正反面决定, 或蓝或红.
 游戏主持人循环问三个人是否知道自己帽子的颜色, 如果有人回答对了, 那么他们将获得一笔奖金.
 如果错了或者没有人能够回答出来则不能获得奖励.
 在游戏开始前, 三位同学可以商讨一个策略来完成这个游戏. 请问, 他们能够做得多好呢?

如果他们随便猜, 那么只有50%几率猜对. 但是采用如下的方法, 能够保证有75%的几率得到他们的奖励:

策略很简单: 如果你看到其余两位同学的帽子是同色的, 猜剩下的一种颜色. 否则不猜, 把机会留给下个同学. 这个策略能够在3顶帽子非同色的情形下给出正确的猜测, 在颜色相同的情形下这种策略失败了.

这个游戏是没有100%的必胜策略的.不过游戏可以推广到更多的人甚至无穷多人的情形下, 并且在这种情况下, 获胜的概率将更高.