几道题目活跃下气氛

 你有n块石头, 然后做如下的事情:
 把这堆石头分成2堆, 将这两堆的石头块数相乘后把结果写在黑板上.
 对分出的2堆做同样的事情, 直到剩下n堆1块的石头.
 然后把黑板上的所有数字相加, 请问结果是多少?

答案: n * (n - 1) / 2

 大家都知道四色定理. 现在有一副地图, 任何一个国家都不是内陆国家.
 证明对这幅地图染色只要3种颜色就可以了.

答案 : 在此地图外围围上一片海洋, 用四种颜色染色新的地图, 去掉海洋的颜色, 则原地图只用了3种颜色, 而且4染色的时候因为没有内陆国家, 所以这些国家都不会用到海洋的颜色.

 如果汉诺塔问题当中, 盘子只能在柱子（A,B) 或者(B,C)间移动,
 而不能再(A,C)间移动, 那么至少用多少步能把盘子从A移动到C?

答案: 3^n - 1步

以上汉诺塔问题当中, 盘子移动过程是否包含了所有的盘子堆叠状态(小盘仍然要求在大盘之上)?

答案: 是的. 一共只有3^n个状态, 第一个状态不用移动.

 一般的汉诺塔问题当中, 有没有两个不同的盘子排列方式, 在它们之间转换需要超过2^n-1步?

答案: 没有. 可以通过归纳假设. 归纳的步骤大概是: 比如两种状态最大的盘子分别在A,B柱子上, 则从第一个状态用少于2^(n–1)–1步把其他盘子移动到C上, 然后用1步将最大的盘子移动到B, 然后再用少于2^(n–1)–1步将其余的小盘子移动成第二种状态. 总步骤小于2^n–1.

 有一排电梯, 请问在直线上的哪里等待能够减小电梯到来时需要移动的平均距离/最远距离?

答案: 站在中间的电梯前/站在两端电梯的中点. (站在所有电梯的几何中心使得距离平方的均值最小)

来源:

xkcd

<<concrete mathematics>>